Teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras

Hace años, un hombre llamado Pitágoras descubrió un hecho asombroso sobre triángulos:   Si el triángulo tiene un ángulo recto (90°)... ... y pones un cuadrado sobre cada uno de sus lados, entonces... ... ¡el cuadrado más grande tiene exactamente la misma área que los otros dos cuadrados juntos!

El lado más largo del triángulo se llama "hipotenusa", así que la definición formal es:

En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (llamamos "triángulo rectángulo" a un triángulo con un ángulo recto)

 

Entonces, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual al cuadrado de c (c²): a2 + b2 = c 2 Teorema de Pitágoras Hace años, un hombre llamado Pitágoras descubrió un hecho asombroso sobre triángulos:   Si el triángulo tiene un ángulo recto (90°)... ... y pones un cuadrado sobre cada uno de sus lados, entonces... ... ¡el cuadrado más grande tiene exactamente la misma área que los otros dos cuadrados juntos! El lado más largo del triángulo se llama "hipotenusa", así que la definición formal es: En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (llamamos "triángulo rectángulo" a un triángulo con un ángulo recto) Entonces, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual al cuadrado de c (c²): a2 + b2 = c2 Ahora puedes usar álgebra para encontrar el valor que falta, como en estos ejemplos: a2 + b2 = c2 52 + 122 = c2 25 + 144 = 169 c2 = 169 c = √169 c = 13 a2 + b2 = c2 92 + b2 = 152 81 + b2 = 225 Resta 81 a ambos lados b2 = 144 b = √144 b = 12

Teorema de Tales de Mileto

 

  El fil�sofo y matem�tico griego Tales de Mileto fue uno de los siete sabios m�s grandes de la antig�edad.El teorema de Tales, llamado as� en su memoria, es una parte fundamental en el estudio de la semejanza. A �l se debe una de las numerosas aplicaciones que tiene la semejanza, que es la determinaci�n de la distancia entre dos puntos inaccesibles entre s�; para ello se dice que calcul� la altura de una de las pir�mides de Egipto sin medirla directamente, bas�ndose en la longitud de la sombra de su bast�n; as� logr� realizar una brillante triangulaci�nEl teorema de Tales afirma:

Si tres o m�s paralelas son cortadas por transversales, la raz�n entre las medidas de dos segmentos cualesquiera cortados por una transversal ser� igual a la raz�n de las medidas de los segmentos correspondientes de la otra, es decir, son proporcionales.

Al trazar el �ngulo TOS y dividir la recta OT en tres segmentos en donde cada divisi�n se marca con los puntos P, Q y R, si se trazan paralelas que corten a OT y OS por lo puntos P, Q y R, se originan los puntos U, V, W.
En la figura las medidas de los segmentos son las siguientes:OP=2cm; PQ=2.5cm; QR=3cmOU=3cm; UV=3.75cm; V W=4.5cmAl establecer proporciones con las medidas, se observa que: es decir que las medidas de los segmentos correspondientes, son proporcionales.En esta otra figura, al medir los segmentos MN, MN' NP y NP', se puede observar que las medidas son proporcionales:

Triángulos semejantes

 

Dos triángulos son semejantes si cumplen alguna de las siguientes propiedades:

a) Todos sus lados son proporcionales

 

b) Tienen los tres ángulos iguales

 

Estos dos ángulos tienen los tres ángulos iguales.

c) Un ángulo igual y los dos lados que se inician en dicho vértice son proporcionales

 

d) Dos triángulos en posición de Tales son semejantes

 

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS SEMEJANTES
Dos triángulos rectángulos son semejantes si cumplen alguna de las siguientes propiedades:

a) Tienen un ángulo agudo igual y uno de los catetos proporcionales

 

b) Tienen los dos lados catetos proporcionales

 

Lado A / Lado A’ = 4 / 2 = 2
Lado B / Lado B’ = 7 / 3,5 = 2

Al tener los dos lados catetos proporcionales, como el ángulo recto que forman mide 90º, cumple uno de los requisitos que vimos para que dos triángulos fueran semejantes.

c) Tienen un cateto y la hipotenusa proporcionales

 

Lado A / Lado A’ = 8 / 6 = 1,33
Lado B / Lado B’ = 4 / 3 = 1,33

Aplicando el Teorema de Pitágoras podemos calcular la longitud de los catetos que desconocemos.

Calculamos su proporción:

Lado C / Lado C’ = 6,928 / 5,196 = 1,33

Luego todos los lados son proporcionales que vimos que era uno de los requisitos para que dos triángulos fueran semejantes.

Sistema sexagesimal

El sistema sexagesimal es un sistema de numeración en el que cada unidad se divide en 60 unidades de orden inferior, es decir, es un sistema de numeración en base 60. Se aplica en la actualidad a las medidas del tiempo y de la amplitud de los ángulos.

 

Congruencia de triángulos

 

La congruencia de triángulos se basa en el estudio de la igualdad entre triángulos, es decir, gracias a esto podemos saber si esos dos triángulos o más son congruentes (iguales) entre sí. Dicho de modo sencillo, nos permite comparar varios triángulos y saber si son iguales (si tienen los mismos ángulos en sus vértices y si sus lados miden lo mismo).

 

1º LLL
Considerando dos triángulos de lados a, b y c y a´, b´ y c´, se dice que son congruentes, si sus lados son iguales entre sí,

LAL

Considerando los mismos triángulos de lados a, b y c y a´, b´ y c´ respectivamente, se dice que son congruentes si tienen dos lados iguales y el ángulo que se forma con la unión de estos (en el vértice).

 

ALA

 

Teniendo un lado igual (que mida lo mismo, es decir, que sea congruente), y con los ángulos que se forman en los extremos de dicho lado también congruentes. A estos ángulos se les denomina adyacentes al lado y los denominaremos α y β y α´ y β´ para los del otro triángulo.

La medición de los ángulos

 

Medir un ángulo es compararlo con otro que se toma como unidad. La unidad que se usa con más frecuencia es el grado, que es la unidad de medida angular del sistema sexagesimal.

Un grado:

Se usa un pequeño círculo ° después del número para indicar grados.
Por ejemplo 90° significa 90 grados
Grado sexagesimal es la amplitud del ángulo resultante de dividir la circunferencia en 360 partes iguales.

• 1º = 60' = 3600'' (un grado equivale a 60 minutos y a 3600 segundos)
• 1' = 60'' (un minuto equivale a 60 segundos)

                           La recta de Euler                               

 

Tiene una particularidad, y es que contiene al ortocentro, al circuncentro y al baricentro, al punto de Exeter y al centro de los nueve puntos notables de un triángulo no equilátero. Se llama así en honor al matemático suizo Leonhard Euler, quien lo demostró en el siglo XVIII en el año 1765.


La naturaleza de algunos de sus más sencillos descubrimientos es tal que uno bien puede pensar en el fantasma de Euclides diciendo «Pero ¿cómo no se me ocurrió?»


Euler demostró que en cualquier triángulo, el ortocentro, el circuncentro y el baricentro son colineales. Esta propiedad es también cierta para el centro de los nueve puntos notables; que Euler no había demostrado para ese tiempo. En los triángulos equiláteros, estos cuatro puntos coinciden, pero en cualquier otro triángulo no lo hacen, y la recta de Euler está determinado por dos cualesquiera de ellos. El centro del círculo de los nueve notables puntos se encuentra a mitad de camino a lo largo de la línea de Euler entre el ortocentro y el circuncentro , y la distancia desde el centroide de la circuncentro es un medio que desde el centroide hasta el ortocentro.

Otros puntos destacados que se encuentran en la recta de Euler son el punto de Longchamps , el punto Schiffler , el punto de Exeter y el punto far-out. Sin embargo, el incentro se encuentra en la recta de Euler sólo para triángulos isósceles

 

 

Los triángulos

 Es un polígono determinado por tres segmentos que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados, es decir: no colineales).

 

Los triángulos también tienen nombres que te dicen los tipos de ángulos

	Triángulo acutángulo Todos los ángulos miden menos de 90°
	Triángulo rectángulo Tiene un ángulo recto (90°)
	Triángulo obtusángulo Tiene un ángulo mayor que 90°

Equilátero, isósceles y escaleno

Hay tres nombres especiales de triángulos que indican cuántos lados (o ángulos) son iguales.

Puede haber 3, 2 o ningún lados/ángulos iguales:

	Triángulo equilátero Tres lados iguales Tres ángulos iguales, todos 60°
	Triángulo isósceles Dos lados iguales Dos ángulos iguales
	Triángulo escaleno No hay lados iguales No hay ángulos iguales

 

Los ángulos y su clasificación

Clasificación de ángulos según su medida

Un ángulo se forma cuando dos líneas rectas se unen. La amplitud del giro de un ángulo se puede medir, y la unidad que se utiliza para expresarlo se llama grado. Si se realiza una vuelta completa, el ángulo mide 360 grados, escrito esto como 360°.		Media vuelta completa (lo que significa pasar justo al lado opuesto) es un giro de 180°. Este tipo de ángulo se llama ángulo llano.
Un cuarto de vuelta es un giro de 90°, también llamado ángulo recto.		Si un ángulo tiene menos de 90°, se llama ángulo agudo.
Si un ángulo tiene más de 90°, pero menos de 180°, se llama ángulo obtuso.		Si un ángulo mide más de 180°, se llama ángulo cóncavo.
Si un ángulo tiene menos de 180°, se llama ángulo convexo.		Si un ángulo tiene 0°, se llama ángulo nulo.

 

Clasificación de ángulos según su posición:

	Ángulos consecutivos son aquellos que tienen el vértice y un lado común.
	Ángulos adyacentes son aquellos que tienen el vértice y un lado común, y los otros lados situados uno en prolongación del otro. Forman un ángulo llano.
	Ángulos opuestos por el vértice son los que teniendo el vértice común, los lados de uno son prolongación de los lados del otro. Los ángulos 1 y 3 son iguales. Los ángulos 2 y 4 son iguales.

Clasificación de los ángulos según su suma 

	Ángulos complementarios: dos ángulos son complementarios si suman 90°
	Ángulos suplementarios: dos ángulos son suplementarios si suman 180°.  Ángulos entre paralelas y una recta transversal  Ángulos correspondientes Los ángulos 1 y 2 son iguales. Ángulos alternos internos Los ángulos 2 y 3 son iguales. Ángulos alternos externos Los ángulos 1 y 4 son iguales.

Antecedentes de la geometría

 

 

La geometría (del griego geo, tierra y metrein, medir), es la rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio.

 

La geometría nació en Egipto y significa medidas de la tierra,cuyas raíces griegas son: Geo tierra y metre medida. Los egipcios también aplicaron sus conocimientos de geometría en la construcción de pirámides, los conocimientos sobre está rama están contenidos en cinco papiros, también estudiaron las reglas para calcular el área del triángulo isósceles, trapecio isósceles y del círculo, determinaron el valor de 3.1416 como relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo, valor mucho más aproximado que el de los babilonios para .

 

Los babilonios conocen los ángulos bajo los cuales parecen y se ponen los astros, así como la trayectoria del recorrido de los planetas, también sabían calcular las áreas de rectángulos, triángulos rectángulos isósceles, trapezoides y círculos.

 

Los griegos tomaron como ciencia el estudio de la geometría que se inicia con Tales de Mileto siendo este el primero de siete sabios de Grecia, que fundaron la escuela Cónica con la que se inician las matemáticas y la geometría griega.

 

 

TEOREMAS

 

TALES DE MILETO

Los ángulos en la base de un triángulo isósceles son iguales.

Todo diámetro bisecta a la circunferencia

Los ángulos inscritos en una semicircunferencia son iguales

 

PITÁGORAS DE SAMOS

Fundó la escuela pitagórica atribuyéndose el teorema que lleva su nombre y que se anuncia el cuadrado de la hipotenusa, es igual a la suma del cuadrado de los catetos.

 

EUCLIDES

 

Uno de los distinguidos maestros de la Universidad de Alejandría que reunió y ordenó los teoremas y demás proporciones geométricas en su obra llamada elementos.

 

 

 

 

 

 

Los tres problemas más famosos de la geometría antigua

La cuadratura del círculo

2. La trisección del ángulo

3. La duplicación del cubo

 

HERON DE ALEJANDRÍA

Su obra destaca la fórmula que lleva su nombre, la cual se usa para calcular el área de un triángulo en función de sus lados.

 

La Geometría en la Edad Media

Durante los siguientes siglos la Matemática comienza nuevos caminos de la mano de hindúes y árabes en trigonometría y algebra (el uso de la notación posicionaly del cero ), aunque relacionadas con la astronomía y la astrología ; pero en geometría apenas hay nuevas aportaciones. En Occidente, a pesar de que la Geometría es una de las siete Artes liberales las escuelas y universidades se limitan a enseñar los "Elementos", y no hay aportaciones.

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